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Sommaire
- Equation différentielle et résolution à la charge
- Equation différentielle et résolution à la décharge
Equation différentielle et résolution à la charge
Trouver l’équation différentielle
Commencez par faire un schéma bien orienté :
On part de la loi des mailles :
On sait que U = UR + UC
De plus on sait que :
En combinant les deux formules on obtient,
De plus, la loi des mailles permet de dire que :
U = UR + UC
Or on sait que la tension aux bornes d’une résistance est : UR = R.i (loi d'Ohm) Donc,
C’est l’équation différentielle du condensateur à la charge. Une équation différentielle fait apparaître une fonction et sa dérivée. Ici, la fonction est u ou uC
Résolution de cette équation
En terminale, on admet que la solution est exponentielle. On pose donc que,
En remplacent dans l’équation différentielle de départ, on obtient finalement :
De plus, à la charge, U = E car le condensateur se charge et le phénomène se bloque lorsque UPN = E
Donc cela devient,
En procédant par identification c'est-à-dire que 
doit être nulle et donc par conséquent A = E et même on peut dire que 
= 0 si et seulement si RC = τ (on remplace RC par τ et on voit bien que tout s’élimine et donne 0)
Pour finir, à t = 0, UPN = UC = 0 car le condensateur n’est pas encore chargé et de plus 0 = A + B donc A = -B
On en déduit que,
Equation différentielle et résolution à la décharge
Trouver l’équation différentielle
On reprend donc le résultat de la partie 1 :
Résolution de cette équation à la décharge
La courbe de la décharge est aussi une exponentielle donc on peut poser la solution exponentielle.
Mais cette fois, UC = 0 puisque le condensateur se décharge. Donc,
De plus, à t = 0, UPN = UC = E = B.exp(–t/τ)
Or, par identification, A = 0 et τ = RC et E = B (car –t/τ = 0 et e0 = 1)
On en conclut donc que,
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