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Sommes de sous espaces vectoriels

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Sommes de sous espaces vectoriels

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Sommes de sous espaces vectoriels

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1262

Modifié le :

05 Octobre 2010 à 03h00

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Dans tout ce cours, on désignera K comme Ψ ou K et E désigne un espace vectoriel sur K.
L’abréviation "sev" désigne un "sous espace vectoriel".

Proposition : Si (F_i)_{i ∈ I} est une famille quelconque non vide de sev de E alors l’intersection est un sev de E.

Remarque : L’ensemble I n’est pas nécessairement fini.
Théorème : Soit A une partie de E. L’ensemble des sev de E contenant A est non vide et l’intersection de tous les sev de E contenant A est le plus petit sev contenant A. Il est appelé sev engendré par A es est noté Vect(A). A est alors appelé partie génératrice de Vect(A).

Remarque : Cette notion étend celle de familles génératrices finies d’un espace.

Définition : Soit F et G deux sev de E. On note (F + G) = {x + y / x ∈ F et g ∈ G}. (F + G) est un sev de E et c’est le plus petit contenant F et G. Il est appelé somme de F et G.
Théorème : Si F et G sont deux sev de E et si (x₁, ..., x_n) [resp. (y₁, ..., y_n)] est une famille génératrice de F [resp. de G] alors (x₁, ..., x_n, y₁, ..., y_n) est une famille génératrice de F + G.

Définition : Soit F et G deux sev de E. On dit que F et G sont en somme directe lorsque tout vecteur de (F + G) s’écrit de manière unique sous la forme (f + g) ou f ∈ F et g ∈ G.

On le notera :
Théorème : Si F et G sont deux sev de E, la somme (F + G) est directe si et seulement si.
En d'autres termes :
Théorème : Si F et G sont deux sev de E par somme directe de bases respectives (x₁, ..., x_n) et (y₁, ..., y_n) alors (x₁, ..., x_n, y₁, ..., y_n) est une base de.

Définition : Soit F et G deux sev de E. F et G sont dits supplémentaires lorsque :
Dans ce cas, on dira que F est UN supplémentaire de G.

Il n’y a pas unicité du supplémentaire !!
Théorème : Soit F et G deux sev de E.
F et G sont supplémentaire si et seulement si (F + G) = E et F inter G = {0_E}.
En d'autres termes :

Définition : Soit h et h’ deux sev supplémentaires de E. Pour tout x de E, on peut l’écrire de façon unique : x = h + h’ avec h ∈ H et h’∈ H’.

- L’application de E dans E qui à x associe h est appelé projecteur sur H de direction H’ en projection sur H parallèlement à H’.
- L’application de E dans E qui à x associe h – h’ est appelé symétrie par rapport à H parallèlement à H’. Dans les deux cas, H est la base et H’ est la direction de l’application.
Théorème : Soit H et H’ deux sev supplémentaires de E et p un projecteur sur H de direction H’.

- p est un endomorphisme de E et (p o p)(x) = p(x)
- H = Im(p) = Ker(p – IdE) et H’ = Ker(p)
Théorème : Soit p une application de E dans E alors p est un projecteur si et seulement si

- p est linéaire
- (p o p)(x) = p(x)
Théorème : Soit H et H’ deux sev supplémentaires de E et s une symétrie par rapport à H de direction H’.

- s est un automorphisme de E et s -1(x) = s(x)
- H = Ker(s – IdE) et H’ = Ker(s + IdE)
Théorème : Soit s une application de E dans E alors s est une symétrie si et seulement si

- s est linéaire
- (s o s)(x) = IdE
Théorème : Soit H et H’ deux sev supplémentaires. Soit p (resp. p’) la projection sur H (resp. H’) parallèlement à H’ (resp. H) et soit s (resp. s’ ) la symétrie par rapport à H (resp. H’) parallèlement à H’ (resp. H). On a alors :

Définition : Soit H et H’ deux sev supplémentaires de E et soit p le projecteur sur H de direction H’. Pour tout λ ∈ Ψ, l’affinité de base H, de direction H’ et de rapport λ est l’application :
En d’autres termes, si x = h + h’ avec h ∈ H et h’∈ H’ alors :