Cours
Faites votre choix parmi nos 141 cours
Sommaire
- Théorèmes pour les suites
- Théorèmes pour les fonctions
- Règle pour les limites
- Résultats connus pour les limites
Théorèmes pour les suites
- Soit un une suite et L sa limite. On dit que un converge vers L si et seulement si pour tout intervalle ouvert I contenant L, il contient aussi tous les termes un à partir d’un certain rang.
- Toute suite convergente est bornée.
- Théorème des gendarmes : Soit 3 suites un, vn et wn vérifiant :
- un < vn < wn à partir d’un certain rang
- un et wn convergents vers L et ont la même limite
Alors vn est convergente et à pour limite L.
- Toute suite croissante et majorée converge.
- Toute suite décroissante et minorée converge.
- Si une suite est croissante et majorée par M alors L < M
- On dit que deux suites sont adjacentes ssi
- un est croissante et vn décroissante
- un < vn pour tout n
- limite de un – vn = 0 en + ∞
- Si deux suites sont adjacentes alors elles convergent vers L.
- De plus, si un < vn pour tout n alors un < L < vn
- Une suite est divergente ssi tout intervalle de la forme ] a, + ∞[ contient aussi tous les un à partir d’un certain rang.
- Soit un et vn tels que un < vn à partir d’un certain rang, alors
- si la limite de un = + ∞ alors la limite de vn = + ∞
- si limite vn = - ∞ alors limite de un = - ∞
- Si une suite est croissante et non majorée alors elle tend vers plus l’infini.
- Si une suite est décroissante et non minorée alors elle tend vers moins l’infini.
Théorèmes pour les fonctions
- On dit que f tend vers l’infini si et seulement si tout intervalle ouvert I de la forme ]- ∞,a[ contient aussi tous les f(x) pour x suffisamment grand.
- Soit deux fonctions f et g définies sur ] a, + ∞[ telles que pour tout x supérieur à a, f(x) < g(x) alors
- si limite f(x) = + ∞ alors limite de g(x) = + ∞
- si limite f(x) = - ∞ alors limite de g(x) = - ∞
- Une fonction f a pour limite + ∞ lorsque x tend vers a si et seulement si tout intervalle du type ] a, + ∞ [ contient aussi tous les f(x) pour x suffisamment proche de a.
- Soit f une fonction définie sur R+, la fonction f a pour limite L quand x tends vers plus l’infini si et seulement si tout intervalle ouvert I qui contient L contient aussi tous les réels f(x) pour x suffisamment grand.
- Théorème des gendarmes pour les fonctions. (idem que pour les suites)
- Théorème de composition. (idem que pour les suites)
Règle pour les limites
- Toute fonction polynôme non nulle admet en + ∞ ou - ∞ une limite qui est celle de leur terme de plus haut degrés.
- Toute fonction rationnelle non nulle admet en + ∞ ou - ∞ une limite qui est celle du quotient de leur terme de plus haut degrés.
Résultats connus pour les limites
Commentaires
