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Sommaire
- Equation d'une droite
- Produit scalaire dans l'espace
- Orthogonalité dans l’espace
- Equation de plan
- Rappels sur le produit scalaire dans le plan
- Distance d'un point à un plan
Equation d'une droite
- Un vecteur normal à une droite est un vecteur non nul de direction orthogonale à la droite.
- Dans un repère orthonormé, une droite de vecteur normal a une équation de la forme :
- Soit une droite de type ax + by + c = 0 et A(xa , ya) un point en dehors de la droite alors la distance de A à la droite est :
- Le cercle de diamètre [AB] est l’ensemble des points M du plan tels que MA.MB = 0
Produit scalaire dans l'espace
- Première formule : u.v = ||u||x||v||x cos(u,v)
- Deuxième formule : AB.AC = AB x AC x cos(angle BAC)
- Troisième formule :
- Quatrième formule : si u(x,y,z) et v(x',y',z') dans un repère de l'espace, alors :
u.v = xx' + yy' + zz'
Orthogonalité dans l’espace
- Deux droites sont orthogonales dans l’espace si des parallèles menées par un point quelconque sont perpendiculaires.
- Deux vecteurs sont orthogonaux si l’un des deux vecteurs est le vecteur nul ou si les droites (D) et (D’) de vecteurs normaux u et u’ sont orthogonales.
- Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si :
-Une droite (D) de vecteur directeur n et un plan P sont perpendiculaires si et seulement si on peut trouver deux vecteurs u et v différents du vecteur nul et non colinéaires tels que :
- Un vecteur est normal à un plan P s’il est directeur d’une droite (D) perpendiculaire à P.
- Soit P un plan de vecteur directeur n et A appartenant à P. Le plan P est l’ensemble des points M de l’espace tels que :
- Deux plans sont parallèles s’ils ont des vecteurs normaux colinéaires.
- Deux plans de vecteurs normaux respectifs n et n’ sont perpendiculaires si et seulement si n est orthogonal à n’
Equation de plan
- Soit un repère orthonormé.
- un plan de vecteur normal n(a, b, c) a une équation du type : ax + by + cz + d = 0
- si on a un triplet (a, b, c) différents de (0, 0, 0) et un point d qui appartient à R alors l’ensemble des points M(x, y, z) sont tels que ax + by + cz +d = 0 est un plan avec n(a, b, c)
- Soit un plan P d’équation ax + by + cz + d = 0 alors l’ensemble des points M(x, y ,z) tels que ax + by + cz + d > 0 (de même pour < 0) est appelé demi espace de frontière de P.
Rappels sur le produit scalaire dans le plan
Distance d'un point à un plan
Formule dans l'espace :
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