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Choix catégorie Terminale S Fiches BAC Maths : Droites de l'espace

Nom du cours :

Maths : Droites de l'espace

Auteur :

fdiedler

Description :

[Fiche BAC] Les droites de l'espace

Difficulté :

Visualisations :

866

Modifié le :

29 Septembre 2010 à 12h17

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Sommaire

• Barycentre de n points pondérés
• Caractérisation barycentrique
• Représentation paramétrique d'une droite

Barycentre de n points pondérés

- Soient un système de n points pondérés avec la somme des coefficients différente de zéro, alors il existe un seul point G de l'espace tel que :

- Homogénéité du barycentre : Si on multiplie chaque coefficient par un réel k non nul alors le barycentre ne change pas.

- Relation fondamentale :

- Dans un repère orthonormé, on peut calculer les coordonnées de G. On applique la relation fondamentale pour M = 0 :

Dans le plan complexe avec z₁, z₂...z_n des affixes respectives de A₁,A₂...A_n alors Z, affixe du barycentre G est :

Barycentre partiel : Le barycentre d’un système ne change pas si on remplace des points pondérés par leur barycentre partiel à condition d’affecter ce barycentre partiel de la somme des coefficients disparus.

Conservation du barycentre : Soit f une symétrie, une rotation ou une translation du plan, l’image f(G) du barycentre d’un système [A₁, α₁], … , [A_n, α_n] est le barycentre du système image [f(A₁), α₁], … , [f(A_n), α_n].

Caractérisation barycentrique

- Cas de la droite : La droite (AB) est l’ensemble des barycentres dont les points pondérés sont A et B.

- Cas du segment : Le segment [AB] est l’ensemble des barycentres des systèmes (A,a) (B,b) avec tels que a et b sont de même signe.

- Cas du plan : Le plan (ABC) est l’ensemble des barycentres des points A, B et C.

- Cas du triangle : Soit ABC un triangle quelconque, l’intérieur du triangle ABC (cotés compris) est l’ensemble des barycentres des points A, B et C affectés des coefficients de même signe.

Représentation paramétrique d'une droite

Dans cette partie du cours, les vecteurs seront notés en gras

- Soit l’espace rapporté à un repère orthonormé avec A(x0, y0, z0) et a(a, b, c) différent du vecteur nul. La droite (D) passant par A ayant u pour vecteur directeur est telle que pour tout M de (D), AM est colinéaire à u.

- Un système d’équation paramétrique de (D) passant par A et de vecteur directeur u est :

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