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Sommaire
- Fonction exponentielle de base a avec a > 0
- Suites géométriques avec q > 0
- Croissances comparées
- Puissance d'exposant réel
- Fonction racine nième
- Etude de la fonction f(x) = ax
Fonction exponentielle de base a avec a > 0
- Soit a réel différent de 0 et positif, on appelle fonction exponentielle de base a, la fonction définie sur R par :
- Les propriétés algébriques avec les exposants relatifs s’appliquent aux exposants réels.
Suites géométriques avec q > 0
qn est une suite géométrique de raison q et de premier terme 1. on peut écrire qn = en.ln q (exponentielle de base q). Pour 0 < q < 1, la suite est décroissante et pour q > 1, la suite est strictement croissante.
Croissances comparées
- A l’infini, l’exponentielle l’emporte sur toute puissance.
- A l’infini, toute puissance l’emporte sur le logarithme.
Puissance d'exposant réel
- Pour a > 0, d’après la définition de l’exponentielle de base a : ab = eb*ln(a)
- Les propriétés algébriques sont celles des exponentielles de base a.
Fonction racine nième
- Soit a > 0, l’unique réel positif tel que xn = a est appelé racine nième de a et est noté :
- Pour tous réels positifs, on a :
- On appelle fonction racine nième, notée f1/n, la fonction définie par :
Sens de variation
La fonction racine nième est strictement croissante sur son ensemble de définition : ]0 ; +∞[
Limite en +∞
Etude de la fonction f(x) = ax
Fonction dérivée de expa
La fonction expa est dérivable sur R et pour tout réel x, (expa)'(x) = axln(a)
Sens de variation de expa
- Si a > 1, la fonction expa est strictement croissante sur R
- Si 0 < a < 1, la fonction expa est strictement décroissante sur R
Comportement asymptotique
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