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Maths

Les suites (4) - Comparaisons

Nom du cours :

Les suites (4) - Comparaisons

Auteur :

fdiedler

Description :

Les comparaisons dans les suites

Difficulté :

Visualisations :

728

Modifié le :

13 Septembre 2010 à 03h00

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Sommaire

Nomenclature
La relation O « grand o »
La relation o « petit o »
La relation ~ « équivalent »
Comparaison de référence

Nomenclature

On notera u la suite u = (u_n)_{n ∈ ζ}
On notera v la suite v = (v_n)_{n ∈ ζ}
L'abréviation APRC signifie A partir d'un certain rang

Soit a = (a_n) une suite réelle ne s’annulant pas APCR. Ces relations seront surtout utilisées pour la comparer des suites convergentes vers 0 ou bien qui tendent vers l’infini.

La relation O « grand o »

Définition : Soit u une suite réelle. On dit que u est dominée par la suite a si :
On le note :
Les propriétés suivantes sont équivalentes :

- La suite définie APCR est bornée.
- Il existe une suite v bornée telle que u_n = v_n*a_n APCR.
- On peut remplacer u_n par |u_n| et a_n par |a_n| sans changer le résultat.
- On peut changer un nombre fini de termes de u et de a sans changer le résultat.
La relation "O" est une relation réflexive et transitive dans l’ensemble des suites réelles ne s’annulant pas APCR.
Quelques relations :
Donc c’est un sous espace vectoriel de l’espace des suites réelles.

La relation o « petit o »

Définition : Soit u une suite réelle. On dit que u est négligeable devant a si :
On le note :
Les propositions suivantes sont équivalentes :

- La suite définie APCR converge vers 0.
- Il existe une suite v convergente vers 0 telle que u_n v_n*a_n APCR.
- On peut changer un nombre fini de termes de u et de a sans changer le résultat.
-
Si u est bornée et si a tend vers l’infini alors u est négligeable devant a.
La relation "o" est une relation transitive dans l’ensemble des suites ne s’annulant pas APCR.
Quelques relations :

La relation ~ « équivalent »

Définition : Soit u une suite réelle. On dit que u est équivalente à a si :
On le note :
Les propositions suivantes sont équivalentes :

- La suite définie APCR converge vers 1.
- Il existe une suite v convergente vers 1 telle que u_n = v_n*a_n APCR.
-
La relation "~" est une relation d’équivalence dans l’ensemble des suites ne s’annulant pas APCR.
Si u est équivalente à la suite a (avec a ne s’annulant pas APCR) alors le suite u ne s’annule pas APCR. De plus, si la suite a est strictement positive APCR et si u est équivalente à la suite a alors la suite u est strictement positive APCR.
Quelques relations :
On peut élever à une puissance (à condition que u_n^p et a_n^p soient bien définies c'est-à-dire que u_n et a_n soient strictement positives APCR lorsque p n’est pas entier).
On peut composer par le logarithme à certaines conditions :
Si deux suites sont équivalentes alors elles ont la même limite (si elle existe). La réciproque n’est vraie que pour les limites finies non nulles.