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Nom du cours :
Les suites (3) - Récurrences u(n+1) = f(un)
Auteur :
Description :
Les suites construites à partir d'une fonction
Difficulté :
Visualisations :
1231
Modifié le :
13 Septembre 2010 à 03h00
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Sommaire
- Nomenclature
- Etude de la fonction f
- Limites éventuelles
- Sens de variation
- Précisions sur la convergence
Nomenclature
- On notera u la suite u = (un)n ∈ ζ
- On notera v la suite v = (vn)n ∈ ζ
- L'abréviation APRC signifie A partir d'un certain rang
Ce cours est en fait une méthode pour étudier ce genre de suite.
Etude de la fonction f
- Trouver l’ensemble de définition
- Calcul de la dérivée
- Tableau de variation et intervalles stables par f.
- Courbe et la première bissectrice
- Résoudre f(x) = x et signe de f(x) – x.
Limites éventuelles
-
Les solutions de f(x) = x sont les limites éventuelles de la suite u. Si u converge alors L = f(L).
Sens de variation
- Si f est croissante et continue sur I stable par f alors la suite u est monotone. Le sens de variation de u dépend du signe de u1 – u0.
-
Si f est décroissante et continue sur I stable par f alors les suites (u2n) et (u2n + 1) sont monotones de sens contraire.
- Si la fonction f(x) – x garde un signe constant sur I stable par f alors la suite u est monotone.
Précisions sur la convergence
-
On rajoute une hypothèse supplémentaire sur f :
Une telle fonction est dite lipschitzienne (avec k > 0, elle est dite k-lipschitzienne).
Si k < 1, on dit que f est contractante.
-
Si f est contractante alors elle admet au plus un point fixe.
-
Soit u une suite. Si f est k-contractante sur I et si elle admet un point fixe L alors pour tout u0 de I, u converge vers L et :
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