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Les suites (2) - Limites et théorèmes

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Les suites (2) - Limites et théorèmes

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Etude des suites - Limites et théorèmes

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1377

Modifié le :

14 Septembre 2010 à 12h01

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Définition : Soit u une suite et L ∈ Ψ. On dit que u converge vers L si :

Remarque : Si u converge vers 0 alors elle vérifie APCR.
Soit u une suite réelle. Les propriétés suivantes sont équivalentes :
     - u converge vers L ∈ Ψ
     - (u – L) converge vers 0.
     - (| u – L |) converge vers 0.
Théorème-Définition : (Unicité de la limite). Soit u une suite réelle alors u converge vers au plus un réel. Si u converge vers L alors L est la limite de u lorsque n tend vers plus l’infini.

On note :
Si u est une suite alors toute suite obtenue à partir de u en changeant un nombre fini de termes converge vers la même limite.

Toute suite convergente est bornée.

RÉCIPROQUE FAUSSE !!
Soit u et v deux suites réelles telles que u soit bornée et v converge vers 0 alors la suite (u_nv_n) converge vers 0.
Soit u une suite convergente avec L comme limite réelle.
Si a < L < b alors a < u_n < b APCR.
Conservation des inégalités larges par passage à la limite :
Soit u une suite et (a,b) ∈ Ψ². On suppose que APCR alors si u converge alors on a :

Si u_n < b APCR alors par passage à la limite, on a :

De même, si u_n > a APCR alors on a :

Corrolaire : Soit u et v deux suites réelles avec u_n < v_n APCR.
Si u et v convergent alors :
Théorème : des gendarmes :
Soit u, v et w trois suites telles que :

alors u converge et sa limite est L.

Si u est une suite et si elle converge vers L ∈ Ψ alors la suite (|u|) converge vers |L|.
La réciproque est fausse sauf pour L = 0
Soit u et v deux suites réelles convergentes avec L₁ la limite de u et L₂ celle de v alors :
- Pour tout λ réel, la suite (λu_n) converge vers λL.
- La suite (u_n + v_n) converge vers L₁ + L₂.
- La suite (u_n*v_n) converge vers L₁*L₂.
- Si L₂ différent de 0 alors v ne s’annule pas APCR et la suite (u/v) converge vers L₁/L₂.

Corrolaire : L’ensemble des suites qui convergent vers 0 est un sous espace vectoriel de Ψ^ζ. En revanche, l’ensemble des suites convergentes est une Sous-Algèbre de (Ψ ζ, +, ., x).
Composition par une fonction :
Soit u une suite réelle et f une fonction définie sur I à valeur dans Ψ. On suppose que pour tout n ∈ ζ, u_n ∈ I donc la suite est bien définie.
- Soit a ∈ Ψ et à I ou une extrémité de I. Si
- Si a ∈ I et si f est continue en a alors

Définition : Soit u une suite.
- u tend vers + l'infini si :
- u tend vers – l'infini si :

Soit u une suite et si ou alors
Soit u et v deux suites. On suppose que et que v est minorée alors
Soit u et v deux suites.

Si et que v est minorée par un réel strictement positif APCR alors :
De même, si et si v est majorée par un réel strictement négatif alors
Soit u et v deux suites. Si u admet une limite L₁ dans et si v admet une limite L₂ dans alors dans la mesure où ces opérations ont un sens dans , on a :
Soit u une suite. Si ou si alors la suite (1/u) est définie APCR et :
Composition par une fonction :

Soit u une suite. Si u est croissante et converge vers L un réel alors on a :

De même si u est décroissante et converge vers L un réel alors :
Théorème : Soit u une suite.

     - Toute suite majorée et croissante converge et sa limite et sa borne supérieure.
     - Toute suite non majorée et croissante tend vers + l’infini.
     - Toute suite minorée et décroissante converge et sa limite est sa borne inférieure.
     - Toute suite non minorée et décroissante tends vers – l’infini.

Définition : Soit u et v deux suites. On dit que u et v sont adjacentes si :
- Elles sont monotones de sens de variation contraire.
- La suite (u – v) converge vers 0.
Si u et v sont deux suites adjacentes telles que u est croissante et v est décroissante alors :
Théorème : Soit u et v deux suite adjacentes alors u et v sont convergentes et ont la même limite L. De plus, leur limite commune est l’unique réel telle que :
Théorème : Soit ([a_n, b_n]) une suite de segments décroissante (au sens de l’inclusion), donc que telle que la limite de (b_n – a_n) tends vers 0 c'est-à-dire que la suite des longueurs de ces segments tends vers 0. Cette suite est une suite de segments emboîtés. Alors il existe un unique réel appartenant à tous les segments de la suite ou encore que l’intersection généralisée des [a_n, b_n] est réduite au singleton λ :
Application classique sur le principe de Dichotomie.

Soit u une suite. Soit P une partie infinie de ζ alors (u_n)_{n ∈ P} est une suite extraite de u.
Soit φ une application strictement croissante de ζ dans ζ alors (u_φ(n)) est la suite extraite de u selon le procédé d’extraction φ.

Théorème : Si u admet une limite dans alors toute suite extraite de u tends vers la même limite.
Théorème : Si (u_2n) et (u_{2n + 1}) admettent la même limite dans alors la suite u tends vers L.
Théorème : (Bolzano – Weierstrass) : De toute suite bornée, on peut extraire une suite convergente.