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Nom du cours :
Les suites (1) - Généralités
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Cours sur les suites
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908
Modifié le :
12 Septembre 2010 à 17h39
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Sommaire
Nomenclature
- On notera u la suite u = (un)n ∈ ζ
- On notera v la suite v = (vn)n ∈ ζ
- L'abréviation APRC signifie A partir d'un certain rang
Définitions
-
Soit E un ensemble non vide. Une suite d’éléments de E est une application de ζ dans E, c'est-à-dire une famille d’éléments de E indexée par ζ.
-
(Kζ, +, ., x) est une K-Algèbre.
-
Soit P(n) une propriété dépendant de n ∈ ζ. La suite u ∈ Eζ vérifie cette propriété "à partir d’un certain rang" si :
-
Soit u une suite. U est constante si :
- Une suite stationnaire est une suite constante APCR.
Suites et relation d’ordre
-
Définition :
Soit (u, v) ∈ (Ψ ζ)2 alors :
On définie donc une relation d’ordre non totale.
Bornes
-
Définition :
-
Soit u une suite complexe.
-
Toute suite (réelle ou complexe) bornée APCR est bornée.
- L’ensemble des suites bornées réelles ou complexes est une Sous-Algèbre de Kζ.
Suites de référence
- Suite arithmétique (voir cours Terminale)
- Suite géométrique (voir cours Terminale)
-
Suite arithmético-géométrique :
Soit (a, b) ∈ K², la suite u définie par :
est arithmético-géométrique.
-
Suites récurrentes linéaires d’ordre 2 :
Une suite récurrente linéaire d’ordre 2 est une suite vérifiant :Une telle suite est définie de manière unique par la donnée de u0 et de u1.
On introduit l’équation caractéristique : r2 – ar – b = 0
Expression de un dans le cas complexe :
** Si Δ différent de 0 deux racines distinctes complexes : r1 et r2 alors :** Si Δ = 0 alors on a une racine double : r0 et on a :
Expression de un dans le cas réel :
** Si Δ > 0 alors on a deux racines réelles : r1 et r2 et alors :** Si Δ = 0 alors on a une racine double r0 et :
** Si Δ < 0, on a deux racines complexes conjuguées r1 et r1 barre.
Soit,
alors :
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