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Nom du cours :
Les développements limités
Auteur :
Description :
Formules et opérations sur les développements limités
Difficulté :
Visualisations :
1395
Modifié le :
05 Octobre 2010 à 03h00
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Sommaire
Définitions et propriétés
-
Définition :
Soit f une fonction définie sur I,
et 
.
On dit que f possède un DL d’ordre n au voisinage de a lorsqu’il existe des réels a0, ..., an tels que :Remarque : On peut se ramener à un DL en 0 en composant à droite par la fonction qui a x associe x + a.
-
Théorème :
Soit f une fonction définie sur I, et a0, ..., an, b0, ..., bn des réels. Si
En d’autres termes, chaque DL est unique.
-
Théorème :
Soit f une fonction définie sur I et a ∈ I.
- f est continue en a si et seulement si f admet un DL à l’ordre 0 en a et
- f est dérivable en a si et seulement si f admet un DL à l’ordre 1 en a et
On peut avoir des DL à tout ordre sans que f’’(a) existe. De plus, on ne peut pas "dériver" un DL et un DL de f ne donne pas forcément un DL de f’.
-
Théorème :
Soit f une fonction définie sur I et n ∈ ζ. On suppose que 0 ∈ I barre.
Si f possède un DL alors
- Si f est impaire alors a1 = a3 = ... = 0. Tous les coefficients d’ordre impair sont nuls.
- Si f est paire alors a0 = a2 = ... = 0. Tous les coefficients d’ordre pair sont nuls.
Primitivation des DL – Formule de Taylor-Young
Primitivation
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Lemme :
Soit f une fonction dérivable sur I, a ∈ I et n ∈ ζ.
Si
-
Théorème :
Soit f une fonction dérivable sur I, a ∈ I et n ∈ ζ. Si f’ possède un DL d’ordre n alors f possède un DL :
Formule de Taylor-Young
-
Théorème :
Soit f une fonction de classe Cn(I, Ψ) et a ∈ I.
Dans ce cas, f possède un DL à l’ordre n au voisinage de a et :
Ce formule ressemble à celle pour les polynômes.
Il existe des DL pour des fonctions qui ne sont pas de classe C1. cette formule nous donne une condition suffisante d’existence de DL. Pour les fonctions usuelles de classe C infini (sauf racine, Arcsin en quelques points), ce théorème nous donne les DL à tout ordre.
Conséquence : Lorsque f est de classe Cn, on peut alors obtenir un DL de f’ en dérivant terme à terme celui de f.
Développements usuels
Formules usuelles à retenir :
Opérations sur les développements limités
-
Théorème :
Soit n ∈ ζ, f et g deux fonctions possédant un DL à l’ordre n en 0 :
Exemples et applications
Développement en un point autre que 0
- On effectue un changement de variable pour se ramener en 0
Application aux calculs de limites
- Les développements limités peuvent être appliqués pour trouver des limites de fonctions.
Développement asymptotique
- Les développements limités peuvent être appliqués pour trouver des asymptotes.
Allure locale des courbes paramétrées
- Les développements limités peuvent être appliqués pour trouver l’allure en des points singuliers lors de l’étude de courbes paramétrées.
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