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Choix catégorie Prépa Maths Les coniques (paraboles, hyperboles et ellipses)

Nom du cours :

Les coniques (paraboles, hyperboles et ellipses)

Auteur :

fdiedler

Description :

Etude générales des coniques à centre

Difficulté :

Visualisations :

3615

Modifié le :

12 Septembre 2010 à 17h07

Commentaires :

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Sommaire

• Nomenclature
• Définition générale d'une conique
• La parabole (cas où e = 1)
• Les coniques à centre (cas où e différent de 1)
• Equation polaire d’une conique de foyer O
• Réduction de l’équation cartésienne d’une courbe du second degré

Nomenclature

• sera noté Gamma dans ce cours (problème d'encodage sur la page, ce caractère ne passe pas...)
• Certains vecteurs seront notés en gras.
• S désigne un repère orthonormé direct : S = (S, i, j)
• S' désigne un repère orthonormé : S' = (S, -i, -j)
• R désigne un repère orthonormé : R = (O, i, j)
• R' désigne un repère orthonormé direct : R' = (O, I, J)

Définition générale d'une conique

• On note π le plan usuel orienté. Soit F un point de π et D une droite du plan telle que F ∉ D. Soit e ∈ Ψ*⁺. On appelle conique :
  
  Gamma est la conique de foyer F, de directrice D et d’excentricité e.
  
• L’image d’une conique par une similitude est une conique de même excentricité et de même nature.
  
• Soit K le projeté orthogonal de F sur D. La droite (KF) est un axe de symétrie de la conique. De plus, (KF) est l’axe focal de Gamma.
  
• On appelle sommet de Gamma un point d’intersection de Gammaavec l’axe focal.

La parabole (cas où e = 1)

Définition et propriétés

• Définition : La parabole est une conique d’excentricité égale à 1.
  
• Soit F un point de π, D une droite avec F ∉D. Soit P la parabole de foyer F et de directrice D, on a donc :
  
  
• Soit K le projeté orthogonal de F sur D. On note p = KF = d(F, D). p est le paramètre de la parabole P.
  
• La parabole admet un unique sommet sur l’axe focal : S
  

Equation réduite

• On pose
  Dans le repère S, la parabole P a pour équation réduite :
  
  
• Dans le repère S', l’équation devient :
  
  
• Dans le repère R, l’équation s’écrit :
  
  
  où a,b,c dépendent de p et des coordonnées de O dans S et (X, Y) sont les coordonnées dans R.
  

Représentation paramétrique et tangente.

• Dans le repère S', l’équation de P est y² = 2px donc on peut paramétrer P sous la forme :
  
• Soit M₀(x₀, y₀) un point de P. L’équation de la tangente en ce point est :
  
  (dédoublement des termes)
  
• Pour tout point M appartenant à P, la tangente en M à la parabole P est la médiatrice de [HF] où H est le projeté orthogonal de M sur D.

Les coniques à centre (cas où e différent de 1)

Généralités

• Soit F un point du plan, D une droite telle que F ∉ D. Soit e un réel strictement positif et différent de 1. On a alors :
  
  
• Soit K le projeté orthogonal de F sur D. On appelle (FK), l’axe focal.
  
• Gamma admet deux sommets sur l’axe focal : A et A’
  
• Soit O le milieu de [AA’]. On appelle :
  

• Equation réduite :

  Soit et j directement orthogonal à i. Dans le repère R, l’équation de Gamma est :
  
  
• M’(x, -y) appartient à Gamma équivaut à M(x, y) appartient à Gamma. On retrouve le fait que la droite (O, i) est un axe de symétrie.
  
• M’(-x, -y) appartient à Gamma équivaut à M(c, y) appartient à Gamma. On retrouve le fait que O est le centre de symétrie de la conique.
  
• On a aussi la droite (O, j) comme axe de symétrie de la conique (axe non focal).
  

Cas de l'ellipse (e < 1)

• Une ellipse est une conique à centre d’excentricité < 1. On a donc c < a et donc a² - c² > 0. On pose et on obtient une équation réduite :
  
  
• Une ellipse possède deux points d’intersection avec l’axe non focal : B(0, b) et B’(0, -b) dans le repère associé.
  
• Vocabulaire :
  
  2a = AA’ => grand axe
  a = OA => demi grand axe
  2b = BB’ => petit axe
  b = OB => demi petit axe
  2c = FF’ => distance focale
  c = OF => demi distance focale
  
• Le cercle de centre O et de rayon a est appelé cercle principal.
  
• Le cercle de centre 0 et de rayon b est appelé cercle secondaire. Il est tangent à l’ellipse en B et B’.
  
• Le cercle de centre B et de rayon a coupe l’axe focal en F et F’. On a alors a = BF = BF’
  
• Soit I l’un des deux points d’intersection du cercle principal avec la droite (F, j). Soit T la tangente au cercle principale en I alors T coupe l’axe focal en K.
  
• Dans le repère R qui donne l’équation réduite, soit f l’application qui à un point M(x, y) associe M’(x’, y’) tel que :
  
  
  f est l’affinité orthogonale d’axe (Ox) de rapport λ = b/a Par l’application f, l’ellipse est l’image de son cercle principal.
  
• On obtient alors un paramétrage de l’ellipse :
  
  
• Equation de tangente par "dédoublement des termes" en M₀ :
  
  
• Définition : (bifocale de l’ellipse) : Soient F et F’ deux points distincts du plan et a un réel tel que a < 1/2 FF’ alors l’ensemble est l’ellipse de foyers F et F’, d’excentricité e = FF'/2a, de directrices D et D’ perpendiculaires à (FF’) en K et K’ tels que et de même sens que FF’
• Projection orthogonale d’un cercle sur un plan : Dans l’espace usuel, l’image d’un cercle par une projection orthogonale sur le plan est une ellipse (vrai ellipse si le plan de projection n’est pas parallèle au plan du cercle sinon on a un cercle).
  

Cas de l'hyperbole (e > 1)

• Une hyperbole est une conique à centre d’excentricité > 1. On a donc c > a et donc c² - a² > 0. On pose et on obtient une équation réduite :
  
• Une hyperbole possède deux points d’intersection avec l’axe focal : A(0, a) et A’(0, -a) dans le repère associé. Pas de point d’intersection avec l’axe non focal.
  
• Représentation paramétrique :
  
• Equation de tangente par "dédoublement des termes" en M₀ :
  
• Asymptotes de l’hyperbole :
  
• L’écart angulaire entre chaque asymptote vaut :
• L’écart angulaire entre les deux asymptotes vaut : 2α
• Si b = a alors les asymptotes sont perpendiculaires car
• Equation d’une hyperbole ramenée aux asymptotes : Les asymptotes ont pour vecteurs directeurs, respectivement u(a, b) et v(a, -b). Dans le repère cartésien (O, u, v)l’équation cartésienne de la tangente à l’hyperbole devient :
  
• Définition : (bifocale) : Soir deux points F et F’ distinct du plan et a un réel tel que a < 1/2 FF’ alors l’ensemble des points M tel que est l’hyperbole de foyer F et F’, d’excentricité . Son centre est O milieu de [FF’] et ses directrices sont des droites perpendiculaires à (FF’) situés à la distance a²/c de 0.

Equation polaire d’une conique de foyer O

• Soit T une conique de foyer O. Si l’axe focal (O, I) et la directrice D associée au foyer O a pour équation x = d dans R’ avec d = d(O, D) > 0 alors l’équation de la conique T dans R’ est :
  
• Si i est un vecteur unitaire tel que et si l’axe focal est (O, i) et D la directrice associée au foyer O a pour équation normale dans R’ alors la conique T a pour équation polaire :
  
• Pour une parabole (e = 1), la paramètre p est le même que celui introduit précédemment c'est-à-dire c’est la distance du foyer à la directrice.
  
• Pour les coniques à centre, on peut exprimer a,b et c en fonction de p et e :
  

Réduction de l’équation cartésienne d’une courbe du second degré

• Dans un repère orthonormé direct quelconque (pas le repère réduit), l’équation cartésienne d’une conique est de la forme :
  
• Réciproque : Les courbes d’équation sont des coniques ou des coniques dégénérées.

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