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Maths

Courbes paramétrées

Nom du cours :

Courbes paramétrées

Auteur :

Description :

Tracer une courbe paramétrée en coordonnées cartésiennes et polaires

Difficulté :

Visualisations :

2483

Modifié le :

11 Novembre 2010 à 17h29

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Une fonction à valeur vectorielle est une application définie sur un intervalle A (partie de R) à valeurs dans R2 et qui a t associe un couple [f1(t), f2(t)]. Les fonctions f1 et f2 sont les [i]fonctions coordonnées|/i] de F.
Opérations : Soit ces deux fonctions vectorielles :
- Somme et multiplication par un réel :
- Multiplication par une fonction réelle :
- Composition par une fonction réelle :
- Produit scalaire, déterminant et norme :

Soit F une fonction vectorielle définie sur I, a un point de I ou une extrémité de I, b appartenant à R2 (b = (b1, b2). La fonction F admet comme limite b si et seulement si :
Soit F une fonction vectorielle définie sur I. F est continue en a (appartenant à I) si et seulement si :
Si F est continue en a, alors F est dérivable en a si la fonction vectorielle admet une limite finie lorsque t tend vers a.
Dérivation et opérations :

Soit F, G deux fonctions vectorielles, H, U deux fonctions réelles, α appartement à l’ensemble de définition de la fonction U.
- Si F,G et H sont dérivables en a alors F+G, λF, h x F sont dérivables en a.
- (F + G)’(a) = F’(a) + G’(a) = (f’1(a) + g’1(a), f’2(a) + g’2(a))
- (λF)’(a) = λF’(a) = (λf’1(a), λf’2(a))
- (h.F)’(a) = h’(a).F(a) + h(a).F’(a) = (h’(a).f1(a) + h(a).f’1(a), h’(a).f2(a) + h(a).f’2(a))
- Si u est dérivable en α et F dérivable en u(α) alors (F o u) est dérivable en α et : (F o u)’(α) = u’(α).F’(u(α))
- Si F et G sont dérivables alors (F | G) et det(F, G) sont dérivable en a et : * (F | G)’(a) = (F’(a) | G(a)) + (F(a) | G’(a)) * [det(F, G)]’(a) = det(F’(a), G(a)) + det(F(a), G’(a))
- Si F est dérivable en a alors la fonction ||F|| est dérivable en a si et seulement si :

Une courbe paramétrée définie sur I est une fonction définie sur I à valeurs dans R2. Si F est une courbe paramétrée, l’ensemble des points M(t) du plan tels que est le support de F.

Le support est paramétré pour :
Interprétation cinématique : Une courbe paramétrée représente le mouvement d’un point mobile du plan. Le support est la trajectoire. Le vecteur dérivé correspond au vecteur vitesse et la dérivée seconde à l’accélération.

Soit une fonction vectorielle F dérivable sur I. On appelle point régulier, tout point où le vecteur vitesse est non nul. Si F’(a) différent de 0 alors F(a) est un point singulier. En revanche si le vecteur vitesse s’annule (F’(a) = 0) alors on a un point singulier ou stationnaire. Si F(a) est un point régulier alors la tangente à la courbe au point de paramètre a (M(a)) est la droite passant par M(a) et dirigée par :
Equation de la tangente : Soit

T₀ tangente au point M(t₀) avec N(x, y) appartenant à T₀ si et seulement si le det(MN, F’(t₀)) = 0
Tangente en un point singulier : La tangente est la position limite des "sécantes" (M(t₀), M(t)) lorsque t décrit I. Donc le coefficient directeur de la tangente est :

Une courbe paramétrée admet une branche infinie lorsque t tends vers t₀ si :
Direction asymptotique :

- Si admet une limite finie, la courbe admet (y = mx) comme direction asymptotique.
- Si admet une limite infinie, c’est l’axe (Oy) qui est une direction asymptotique.
- La direction asymptotique est une direction de droite, c'est-à-dire une direction dans laquelle "l’observateur placé en O voit s’éloigner le point".
Etudes des branches infinies :

Dans le cas où :
on a alors une branche parabolique ou une asymptote oblique. Si le quotient tend vers un réel m lorsque t tend vers t₀ et que tend vers un réel p, alors on a une asymptote oblique y = mx + p. Dans les autres cas, on a une branche parabolique.

On s’intéresse au cas où le paramètre est θ. Donc on étudie les courbes de la forme :

Une telle courbe a pour équation :
Proposition :
Soit, F est une courbe paramétrée donnée en coordonnées polaires et :
Le point M(θ₀) est singulier si . En particulier lorsque M(θ₀) est différent de 0 alors le point est régulier.
Pour, c'est-à-dire lorsque la courbe passe par l’origine, la tangente à la courbe en ce point est tou_jours dirigée par . (point régulier ou singulier)