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Maths

Calcul intégral

Nom du cours :

Calcul intégral

Auteur :

fdiedler

Description :

Le calcul intégral

Difficulté :

Visualisations :

2406

Modifié le :

26 Mars 2011 à 19h39

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Sommaire

Intégrale d’une fonction en escalier sur un segment
Intégrale d’une fonction continue par morceaux sur un segment.
Intégration et dérivation
Approximation d’intégrales

Intégrale d’une fonction en escalier sur un segment

Dans tout ce cours, a et b des réels et K = Ψ ou Z.
I et J désignent des intervalles de Ψ et [a, b] suppose que a < b

Fonction en escalier

Définition : On dit qu’une fonction f est en escalier s’il existe une famille (x_i)0 < i < n de réels tels que :
- a = x₀ < x₁ < ... < x_n = b
- f est constante sur chaque ]x_i, x_i+1[La famille des (x_i) est alors une subdivision adaptée à f. L’ensemble E([a,b], Ψ) des fonctions en escalier sur [a,b] est une sous algèbre de F([a,b], Ψ)

Intégrale d’une fonction en escalier sur un segment

Définition : Soit f une fonction en escalier et soit {x_i}0 < i < n et {x_i}’0 < i < m deux subdivisions adaptées à f alors :

avec yi et yi’ la valeur constante de f sur ]x_i, x_i+1[ et ]x_i’, x_i+1’[
Ce réel est appelé intégrale de f sur [a,b] et est noté :
Remarque : On peut changer la valeur de f sur un nombre fini de points sans changer la valeur de l’intégrale. La valeur de l’intégrale est indépendante des valeurs de f aux points de la subdivision adaptée choisie.

Propriétés de l’intégrale d’une fonction en escalier

Théorème : Soit f et g deux fonctions en escalier.
L’application "intégrale de f" est une forme linéaire sur E([a,b], Ψ).

Remarque : Comme toute forme linéaire positive sur un espace de fonctions, l’intégrale est croissante.

Intégrale d’une fonction continue par morceaux sur un segment.

Définition

Définition : On dit que f est continue par morceaux s’il existe des réels a = x₀ < ... < x_n = b tels que f est continue sur ]x_i, x_i+1[ pour i ∈ [|0, n – 1|] et prolongeable en une fonction continue sur [x_i, x_i+1]. (xi) est alors appelé une subdivision adaptée à f.

Remarque : La fonction inverse n’est pas continue par morceaux sur [-1, 1] et elle est ni prolongeable.
Proposition : Soit f une fonction continue par morceaux alors f est bornée.

Approximation des fonctions continues par morceaux par des fonctions en escalier sur un segment

Théorème : Soit f une fonction continue par morceaux et ε > 0 alors il existe φ et Ψ deux fonctions en escalier telles que :

Intégrale d’une fonction continue par morceaux sur un segment

Définition : Soit f une fonction continue par morceaux.
Notons E^-(f) = {φ ∈ E([a,b], Ψ / φ f} et E⁺(f) = {Ψ ∈ E([a,b], Ψ / Ψ f}.
Notons aussi I^-(f) = { où φ ∈ E^-(f)} et I⁺(f) = { où Ψ ∈ E⁺(f)} On a alors inf I⁺(f) et sup I^- (f) qui sont des réels. De plus, on a inf I⁺(f) = sup I^- (f). Par définition, cette valeur commune est appelée intégrale de f sur [a,b].

Propriétés de l’intégrale d’une fonction continue par morceaux sur un segment

Théorème : Soit f et g deux fonctions continue par morceaux.
Théorème : Soit f une fonction continue et positive sur [a,b].
- S’il existe un x ∈ [a,b] tel que f(x) > 0 alors .
- Si alors f est identiquement nulle.
Définition : Soit f une fonction continue sur [a,b] et α, β des réels de [a,b]. On définie alors :

Extension aux fonctions à valeurs complexes

Définition : Soit f une fonction continue par morceaux sur
[a, b]. On appelle intégrale de f sur [a, b] le nombre :
L’ensemble CM([a, b], Z) se définie de la même manière que pour les fonctions réelles. On peut montrer que f appartient à CM([a, b], Z) si et seulement si Re(f) et Im(f) sont dans CM([a, b], Z).

Intégration et dérivation

Primitives

Définition : Soit f une fonction de I dans K. On dit qu’une fonction F définie sur I est une primitive de f si elle est dérivable et si F’ = f.
Théorème : Si f possède une primitive F sur I alors toutes primitives de f sur I sont de la forme F + k où k ∈ K.

Existence de primitive – Théorème fondamental de l’analyse

Théorème : Soit f une fonction continue sur I dans K.
- Soit a ∈ I et F(x) = alors F est une primitive de f sur I
- Si A ∈ K alors il existe une unique primitive F(a, A) de f sur I tel que F(a, A)(a) = A et :

Remarque : Toutes les fonctions continues par morceaux n’ont pas forcément de primitives. rg(f) <= dim(E)
Théorème : Soit f une fonction continue sur I et a, b ∈ I. Si F est une primitive quelconque de f sur I alors :

Intégration par parties

Théorème : Soit u et v deux fonctions de classe C¹ sur I et a, b ∈ I alors :

Changement de variable

Théorème : Soit φ une fonction de classe C¹ de I dans J et f une fonction continue sur J. Soit a, b ∈ J alors :
Corrolaire : Soit f une fonction continue sur [–a, a] alors :

Approximation d’intégrales

Sommes de Riemann

Définition : Soit f une fonction de [a, b] dans Ψ et n > 0. Soit X = (x_i)_{0 <= i <= n} et U = (u_i)_{0 <= i <= n - 1} vérifiant a = x₀ < ... < x_n = b et pour tout i ∈ [|0, n – 1|], u_i ∈ [x_i, x_i+1] alors le réel S(f, X, U) est appelé somme de Riemann de f associé à X et à U. Ce réel vaut :

Nous allons considérer S(f, X, U) par des subdivisions à pas constant définies par :

Lorsque l’on considérera S(f, X, U) comme valeur approchée de l’intégrale de f entre a et b, on appellera erreur commise le réel :
Théorème : Soit f une fonction continue sur [a, b] alors :
-
- Si f est de classe C¹ alors l’erreur commise est un O(1/n).

Remarque : Le théorème montre en particulier que ces limites existent.