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Nom du cours :
Arithmétique dans les entiers relatifs
Auteur :
Description :
Cours sur l'artithmétique dans l'ensemble des entiers relatifs
Difficulté :
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1149
Modifié le :
12 Septembre 2010 à 17h07
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Sommaire
Division dans oméga
Relation de divisibilité
- Définition : Soit a, b ∈ Ω. On dit que a divise b, a est un diviseur de b ou que b est un multiple de a lorsqu’il existe un entier relatif k tel que b = ka. On le note a | b.
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Théorème :
Soit a, b, c ∈ Ω.
- La relation divise est réflexive et transitive mais elle n’est
pas antisymétrique dans Ω.
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Relation de congruence
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Définition :
On dit que a est congru à b modulo n lorsque n divise (b – a), c'est-à-dire s’il existe un k relatif tel que
b = a + kn. On le note ou -
Théorème :
Soit a, b, a’, b’ ∈ Ω et m, n ∈ ζ*
- La relation « être congru à » est une relation d’équivalence, c'est-à-dire qu’elle est réflexive, symétrique et transitive.
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Division euclidienne
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Théorème :
Soit a ∈ Ω et b un entier non nul. Alors il existe un unique couple (q, r) ∈ Ω x ζ tel que :
Diviseurs et multiples communs
Définition :
Soit a, b ∈ Ω. On dit que d est un diviseur commun de a et b lorsque d | a et d | b. On dit que m est un multiple commun de a et b lorsque a | m et b | m.
Plus Grand Diviseur Commun (PGCD)
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Définition :
On appelle PGCD de deux entiers relatifs a et b tout nombre entier relatif d vérifiant :
- d est un diviseur commun de a et b.
- pour tout diviseur commun y de a et b, y | d.
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Lemme :
Soit a, b ∈ Ω et a = bq + r la division euclidienne de a par b alors :
- Si a et b possède un PGCD y alors y est aussi PGCD de b et de r.
- Si b et r possède un PGCD y alors y est aussi PGCD de a et b.
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Théorème :
Soit a, b ∈ Ω. Il existe un unique PGCD positif de a et b noté pgcd(a, b). On l’appellera le PGCD de a et b.
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Théorème :
Soit a, b ∈ Ω.
-
Théorème :
Soit a, b ∈ Ω. Alors il existe u, v ∈ Ω tels que :
Un tel couple n’est pas unique et est appelé couple de coefficient de Bézout.
Nombre premier entre eux
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Définition :
Soit a, b ∈ Ω.
On dit que a et b sont premiers entre eux lorsque pgcd(a, b) = 1.
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Théorème :
Bézout : Soit a, b ∈ Ω alors a et b sont premiers entre eux si et seulement si au + bv = 1.
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Théorème :
Gauss : Soit a, b, c ∈ Ω.
Si a | bc et si pgcd(a, b) = 1 alors a | c.
Plus Petit Multiple Commun (PPCM)
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Définition :
On appelle PPCM de deux entiers relatifs a et b tout nombre entier relatif m vérifiant :
- m est un multiple commun de a et b.
- pour tout y : (a | y et b | y) => m | y -
Théorème :
Soit a, b ∈ Ω alors il existe un unique PPCM de a et b positif noté ppcm(a, b). On l’appellera le PPCM de a et b.
-
Théorème :
Soit a, b ∈ Ω.
Nombres premiers
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Définition :
Soit p un entier différent de 1. On dit que p est premier si ses seuls diviseurs sont 1 et p.
1 n’est pas premier !
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Théorème :
Soit r un entier non nul, (p1, ..., pr) une famille de nombres premiers distincts et (a1, ..., ar) des entiers non nuls alors tout diviseur premier de
-
Théorème :
Soit n > 1 un entier.
Il existe un unique r entier non nul, une unique famille (pi)0 < i < r d’entiers premiers vérifiant p1 < p2 < ... < pr et une unique famille (ai)0 < i < r d’entiers naturels non nuls tels que :
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Théorème :
L’ensemble P des nombres premiers en infini !
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Théorème :
Soit a, b deux entiers non nuls et les uniques familles presque nulles (up)p premier et (vp)p premier telles que :
. Alors :
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